Las matemáticas en imágenes

En el blog Libros de Matemáticas (librosdemates.blogspot.com.es) en el que de forma habitual se ofrece información sobre libros de matemáticas, su contenido, problemas y ejercicios, de una forma amena y muy interesante, del que soy fiel seguidor, y que encontrareis entre mis blogs favoritos, se van publicando posts que leo con regularidad. No en vano, puedo decir que el tema es del máximo interés para mi, pues considero que las matemáticas en su sentido mas amplio, forman parte del conocimiento imprescindible para una educación superior, junto al lenguaje y la filosofía.

En un post publicado el 4 de junio de 2013, con el titulo Las matemáticas en imágenes, que corresponde al de un libro escrito por Yu. Popov y Yu. Pujnachev, se comentan algunos ingeniosos problemas, en particular en las páginas 167 y 168 del libro puede leese el siguiente:

En un triángulo isósceles está inscrito un círculo. En el espacio sobre él, el segundo círculo que es tangente al primero así como a los lados laterales del triángulo. En el espacio sobre el segundo hay un tercero. Así todo el ángulo bajo el vértice del triángulo se va llenando sucesivamente de nuevos círculos con radios que son cada vez menores. Su número es ilimitado.

Si se traza una horizontal entre los dos primeros círculos, ésta cortará del triángulo uno semejante a éste. Las leyes de semejanza dicen: el diámetro del segundo círculo es al diámetro del primero, como el diámetro del tercero al diámetro del segundo, etc. Esta relación constante es menor que la unidad. Los diámetros de los círculos conforman, una progresión geométrica decreciente sin límite alguno.

La pregunta es la siguiente: ¿qué ocurrirá si sumamos sucesivamente los diámetros de los círculos? ¿A qué equivale la suma de semejante serie infinita?

Si habeis olvidado la fórmula para la suma de las progresiones geométricas infinitamente decrecientes, no os preocupeis. En este ejemplo se puede prescindir de las fórmulas. Sólo se necesita darles un cuarto de vuelta a los círculos de tal manera que sus diámetros queden en posición vertical. La suma infinita resultará igual a una magnitud del todo finita: la altura del triángulo.

Ingeniosa demostración de que la suma infinita de los términos de una cierta sucesión puede representar una magnitud del todo finita.

Espero que haya sido de vuestro interés. Solo me queda agradecer su trabajo al autor del blog, al que no puedo identificar en concreto al no publicar su perfil en el mismo.