Problemas Sangaku 3

Vuelvo a insistir con los problemas Sangaku, aunque previamente daré una explicación con un resumen de su procedencia con la información contenida en Wikipedia.

Sangaku, que se puede traducir por Tablilla Matemática, son tablillas de origen japonés con problemas matemáticos principalmente geométricos, creadas durante el período Edo. Son  tablillas de madera con figuras geométricas, que se colocan en los templos y santuarios como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes, escritos en kanbun, una forma antigua de japonés. Cada tablilla sangaku contiene entre 1 y 10 problemas, con una manera específica de mostrar la información, y en las que aparece tambien  el creador, el profesor, la escuela y la fecha de su colgado.

Los sangaku provienen de la costumbre nipona de colgar tablillas en los templos, originada por el sintoísmo que afirma la existencia de divinidades o seres espirituales Kami que pueden encontrarse en la naturaleza o en niveles superiores de existencia. Este término, que constituye el concepto central del culto, se aplica a cualquier fuerza sobrenatural o dios, como los dioses de la naturaleza, hombres sobresalientes, antepasados deificados o hasta deidades que representan ciertos ideales o simbolizan un poder abstracto. Se trata de vivir en armonía con los kami, y así poder disfrutar de su protección y aprobación.

El periodo Edo fue un periodo de paz, el cual duro cerca de dos siglos y medio. Antes de ese momento el país había sido devastado por guerras internas provocadas por los distintos clanes rivales en su lucha por el poder. Hasta que finalmente el orden fue restablecido por el shogun que es la máxima autoridad después del emperador, Tokugawa Leyasu, llevo a cabo la reunificación del país tanto política como económica, fue así como la capital fue trasladada de Kioto a Edo, desde ese momento Japón llevó un aislamiento voluntario con respecto al resto del mundo, y todo aquel que se atreviese a desobedecer esto, era condenado a muerte, fue así como que en 1854 el gobierno fue derrocado por la fuerza naval norteamericana. Este periodo de aislamiento también produjo que las matemáticas avanzaran mucho en Japón ya que no tenían acceso al resto del mundo, fueron las mismas personas tanto campesinos como samuráis quienes dieron un desarrollo genuino a este periodo.

Muchas de estas tablillas se perdieron durante el período de modernización que siguió al período Edo, de las 2625 tablillas que se supone existieron, 884 se conservan.3 La tablilla Sangaku más antigua que se conoce proviene de la prefectura de Tochigi y se remonta a 1683. Aunque el matemático japonés Kazu Yamagushi (1781-1850) alude a una tablilla del año 1668, perdida en la actualidad.

La primera colección de problemas Sangaku fue publicada por Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, en sus obras Shinpeki Sanpō (Problemas matemáticos suspendidos en el Templo) en 1789, y una segunda parte en 1806, Zoku Shinpeki Sanpō. Una colección de Sangaku fue publicada en 1989 por Hidetoshi Fukagawa y Daniel Pedoe, la primera en inglés, en el libro: Japanese Temple Geometry Problems.

Hoy presento un problema de la Prefectura de Gunma del año 1824, que trata sobre tres circunferencias tangentes entre sí y a una misma recta. Se pide determinar el radio de la circunferencia más pequeña en términos de las dos circunferencias restantes.

Este problema es un caso especial del teorema de los círculos de Descartes cuando la cuarta circunferencia tiene curvatura cero. Puede resolverse aplicando el teorema de Pitágoras.