Teorema de Pitagoras

Hoy he alcanzado la cifra de 50.000 visitas, algo que no me podía imaginar cuando inicié esta aventura hace unos meses. Me alegro por el resultado, y para celebrarlo le voy a dedicar este post a Pitagoras, uno de los mas grandes genios que contribuyeron al enorme avance del hombre en el conocimiento.

Busto de Pitagoras (Museo Capitolino de Roma)

Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.

No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos -los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica.

Del Torema de Pitagoras, una de sus contribuciones mas importantes en el desarrollo de las matemáticas, hay cientos de demostraciones, he elegido una de gran simplicidad atribuida a James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos, quién desarrolló una demostración del teorema  publicada en el New England Journal of Education.

El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia el area del trapecio es.

S= (a+b)/2 * (a+b) = (a^2+2ab+b^2)/2

como corresponde a la superficie del trapecio, semisuma de las bases por la altura, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

S= 2(ab/2)+ c^2/2

igualando la ecuación  anteriores, obtenemos:

a^2/2+b^2/2+ab=ab+c^2/2

 eliminado el termino ab  y multiplicando por 2  todos los términos, se obtiene

 c^2=a^2+b^2        el famosísimo teorema

(^ es el símbolo de la potenciación)