Problemas Sangaku 2

En el post del pasado 27 de octubre presenté un problema de geometría de la colección de problemas Sangaku que recoge en su libro Francisco Javier García Capitán (ver el post Sangaku). Hoy presentaré otro problema de la colección que lleva por título La moneda y la servilleta, que me parece entretenido

En la figura anterior se ha doblado la servilleta de forma que sea tangente a la moneda , y entonces se trata de demostrar que el lado saliente AB es igual al radio de la moneda.

Con esos datos es posible resolverlo sin grandes dificultades. En otros casos anteriores, proponía que comunicaran la solución en un comentario en un plazo determinado, y si nadie lo resolvía lo pondría yo mismo. La experiencia enseña que hay muy pocas personas dispuestas a perder el tiempo en esos temas, ¡Bastante tienen con atender el Smartphone, WhatsApp, Facebok, etc.. !. Por tanto lo explicaré en el post, lo cual no es óbice para que el que tenga interés lo pueda resolver por si mismo.

Como paso previo, en la imagen siguiente se recoge la demostración de la fórmula para calcular el radio de la circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo en función de los tres lados. Esta fórmula nos servirá para resolver el problema.

En la imagen siguiente se recoge la grafíca del problema, en la que se ha supuesto que el lado del cuadrado (servilleta) es igual a la unidad, lo que no altera la generalidad. Para resolverlo calcularemos la longitud del segmento HK,  y el radio de la circunferencia utilizando la fórmula expuesta anteriormente en función de los tres lados del triangulo AEK.